摘要：提出了一种基于计算机数值计算的复杂无源滤波器参数设计的新方法，首先把求解电路参数的问题数学化为性能指标优化模型，然后采用遗传算法求得特性符合要求的电路参数值，数值实验表明了此方法的有效性。
关键词：无源滤波器 参数优化设计 遗传算法
无源滤波器在电子技术领域有着广泛的应用。针对某一应用的复杂无源滤波器，往往结构容易确定，参数调整却十分困难。其原因是：结构中的组成元件电阻、电容、电感 个数较多，频率特性与元件参数的关系是一个高阶的非线性函数，相互间对频率特性的影响存在着高度的耦合，因而欲达到频率特性优良的设计目的，无论采用实验手段还是常规数学手段，都需花费大量的时间与精力。
近年来，模拟生物进化过程的遗传算法作为求解优化问题的有效手法而倍受关注。正如ＴｈｏｍａｓＢａｃｋ等人指出１，同其他手法相比，其优点在于：处理问题的灵活性、适应性、鲁棒性，能取得全局解，对模型要求低，针对不同问题设计的不同遗传算法，不仅能提高现有解的优化品质，还能攻克某些难度大的优化问题。
本文以遗传算法的应用为出发点，提出了一种新的无源滤波器参数设计方法。它能有效克服上述无源滤波器参数设计的困难，十分方便地取得满足性能指标要求的参数设计值。
１ 优化模型的建立
典型的无源滤波器电路组成元件一般按Ｔ型结构连接，如图１所示。滤波器的频率特性可以用功率传输函数来定义，即：
其中，Ｘ＝[Ｘ１，Ｘ２，．．．，Ｘｎ]，为电路的元件参数值矩阵，ｎ为元件总个数，Ｗ为频率。若Ｘ已知，频率采样点Ｗｉ对应的频率特性Ｌｉ可按下述方法计算：
设 Ｉ１＝ＩＬ＝０．１，
Ｖ１＝ＩＬＲＬ＋０＝ＶＬ
Ｉ２＝Ｖ１Ｙ１＋ＩＬ
Ｖ３＝Ｉ２Ｚ２＋Ｖ１
Ｖ２ｎ＋１＝Ｉ２ｎＺ２ｎ＋Ｖ２ｎ－１
Ｉ２ｎ＋２＝Ｖ２ｎ＋１Ｙ２ｎ＋１＋Ｉ２ｎ
Ｅｓ＝ＲｓＩ２ｎ＋２＋Ｖ２ｎ＋１
用简易的迭代程序求得Ｅｓ，代入式(１)即可求得Ｌｉ。
滤波器的结构已知后，先确定结构中的参数取值范围，选择的条件可以比较宽松，然后按预期的性能指标要求，选定适当个频率采样点Ｗ１，Ｗ２，．．．，规定其对应功率传输函数幅度界限值，迫使它调整后经过采样点时，满足幅度界限要求（大于、小于或介于）。由此获得的新设计参数Ｘ*即是满足预期性能指标的设计值。为求得Ｘ*，建立如下优化模型：
其中，Ｘ的定义同前，Ｔ＝[Ｔ１，Ｔ２，．．．]为幅度界限值矩阵，Ｓ＝[Ｓ１，Ｓ２，．．．]为加权系数矩阵，Ｕ＝[Ｕ１，Ｕ２，．．．]为裕度矩阵，ＸＬ、ＸＵ分别为设计参数的上下界限矩阵。ｐ为偶次方，ｍ为采样点总数，Ｒｉ称为余差，具体表达式为：
下界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（＋[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ，０）
上界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（－[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ，０）
显然，当存在解Ｘ使Ｆ函数最小时，Ｌｉ的值应能控制在Ｔｉ的要求范围内，从而使频率特性满足指标要求，因此该解即可视为Ｘ*。
２ 优化模型的求解
遗传算法是一个强有力的求优算法，它首先随机地产生一组潜在的解Ｘ（该解称为“染色体”，解的特定集合称为“人口”，解中的变量称为“基因”），然后采用生物进化的过程（如染色体交叉变异淘汰等）不断提高解的品质，最后获得最优解。遗传算法有两个重要控制参数——交叉率Ｐｃ和变异率Ｐｍ对算法的收敛速度有较大影响，文献[３]采用确定不变的Ｐｃ和Ｐｍ而本文采用随世代数增加而不断自动调整的Ｐｃ和Ｐｍ。这样做的目的在于：在进化的初期，人口的差异一般较大，交叉率大和变异率小有助于加快收敛，而在进化的后期，交叉率小和变异率大有助防止过早陷入局部最优点。公式如下：
Ｐｃ(ｇｅｎ)＝Ｐｃ(ｇｅｎ－１)－[Ｐｃ（０）－０．３]／ＭＡＸＧＥＮ
Ｐｍ（ｇｅｎ）＝Ｐｍ（ｇｅｎ－１）＋[０．３－Ｐｍ（０）／ＭＡＸＧＥＮ
其中，ｇｅｎ表示世代数，ＭＡＸＧＥＮ表示最大世代数，具体算法如下：
第１步，全局参数设定
给出ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ（人口数）、Ｐｃ（０）、Ｐｍ（０）、ＭＡＸＧＥＮ和设计次数ｄｃｎｔ的大小或范围。
第２步，人口的产生及初使化
设世代数ｇｅｎ＝１。以设计参数为变量，组成矩阵Ｘ＝[Ｘ１，Ｘ２，．．．，Ｘｎ]。第一代人口由ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ个染色体构成，每个染色体的基因（即设计参数）在参数各自取值范围内随机产生。
第３步，染色体评价
为了评价代世代中染色体Ｘ的优劣，建立染色体适应性评价函数ｅｖａｌ（Ｘ）：
ｅｖａｌ（Ｘ）＝｛F（X，T，S，U）；当X满足约束条件 M，M为一大正数；当X不满足约束条件
对本问题，评价函数越小越好。
第４步，基因操作
通常基因操作有交叉、变异、选择三种(２)。
基因交叉：设交叉计数器ｃｃｎｔ＝０，从[０，１]范围内产生随机数ｒｋ（ｋ＝１，２，．．．，ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ），如果ｒｋ＜Ｐｃ（ｇｅｎ），则选择Ｘｋ为交叉用；使交叉染色体配对进行如下位交叉操作：
Ｘｊ＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ] Ｘｊ′＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ
Ｘｌ＝[Ｘ１ｌ，Ｘ２ｌ，．．．，Ｘｐｌ，．．．，Ｘｎｌ] Ｘｌ′＝[Ｘ１ｌ，Ｘ２ｌ，．．．，Ｘｐｊ，．．．，Ｘｎｊ]
其中Ｘｊ、Ｘｌ为配对染色体，Ｘｊ′、Ｘｌ′为交叉后染色体。
ｐ为随机选择的交插位，接受交叉操作的染色体个数记入ｃｃｎｔ中。
基因变异：设变异计数器ｍｃｎｔ＝０，从[０,１]范围内产生随机数ｒｋ(ｋ＝１,２,．．．,ｎ×ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＋ｎ×ｃｃｎｔ)，如果ｒｋ＜Ｐｍ(ｇｅｎ)，则第ｋ个基因进行变异操作，并使ｍｃｎｔ＝ｍｃｎｔ＋１。新基因Ｘｋ′随机产生于区间[(１－α)Ｘｋ,(１＋α)Ｘｋ]；其中１≤ｉ≤ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ，α为[０,１]范围内选定常数。
染色体选择：计算新生染色体Ｘｎ′的评价函数ｅｖａｌ(Ｘｎ′)(ｎ＝１,２,．．．,ｃｃｎｔ＋ｍｃｎｔ 和父代染色体Ｘｎ的评价函数ｅｖａｌＸｎ ｎ＝１２．．．ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ ，并按适应性大小排列，选出其中适应性最强的ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ个染色体构成新一代人口并保留上述过程中最佳染色体Ｖ*，这个过程称为“适者生存”选择。
第５步，单次过程结束判断
当Ｆ＜Ｅｒ时(Ｅｒ为一小数量级数值 ，Ｘ*＝Ｖ*，输出Ｘ*，转第６步。
当Ｆ≤Ｅｒ且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ时，ｇｅｎ＝ｇｅｎ＋１，返回第３步。
当Ｆ≥Ｅｒ时且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ时，返回第２步。
第６步，全过程结束判断
ｄｃｎｔ＝ｄｃｎｔ－１；当ｄｃｎｔ＞０时，返回第２步；否则，停机。
３ 数值实验例
图２为一带通无源滤波器电路结构，通频带要求在９５０～１０５０ ｒａｄ／ｓ之间。为此，每隔５ｒａｄ／ｓ作一次采样，采样点的幅度大于０．８５；设定低频截止频率为８００ｒａｄ／ｓ，幅度小于１ｅ－５；高频截止频率为１３００ｒａｄ／ｓ，幅度小于１ｅ－５。建立如下优化模型：
ｓ．ｔ． ＸＬ＝[０,０,．．．,０]＜Ｘ＜ＸＵ＝[１８,１８,．．．,１８]
其中
Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘ１９]＝[Ｌ,Ｃ３,Ｃ４,Ｌ６,Ｌ７,Ｃ７,Ｌ９,Ｌ１０,Ｃ１２,Ｌ１３,Ｃ１３,Ｌ１５,Ｌ１６,Ｃ１８,Ｌ１９,Ｃ１９,Ｌ２１,Ｌ２２,Ｃ２４]；
Ｒ１＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ１]－０．０,０），对应Ｗ１＝８００ｒａｄ／ｓ
Ｒｊ＝１．０×Ｍｉｎ(＋[Ｌｊ－０．８５]－０．０５,０)；ｊ＝２,３,．．．,２２，对应Ｗｊ＝(５×ｊ＋９４０)ｒａｄ／ｓ
Ｒ２３＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ２３]－０．０,０），对应Ｗ２３＝１３００ｒａｄ／ｓ
在ＮＥＣ４８００／２１０Ⅱ工作站完成上述算法。算法的参数设置为Ｅｒ＝１ｅ－６，α＝０．１，Ｐｃ＝Ｐｃ(０)＝０．６，Ｐｍ(０)＝０．１，ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＝４０，ＭＡＸＧＥＮ＝２０００，程序语言为ＵＮＩＸ－Ｃ。ｄｃｎｔ取１０，得到１０组设计值，皆能使频率特性满足要求。平均世代数为１５０８代，平均时间为９．８ｍｉｎ。其中一组结果为:
Ｘ*＝[０．０７９２１２．６５１４０．０７５２１３．０１５７０．１０５８３．３１３１
０．１７９３１３．３３８６０．０７２６０．１３３４３．３２６０．１７２２１５．１２１８０．０６３３０．０８７６１．９２８８０．３３３３１０．３１７１０．０９００]。
按此参数设计后，滤波器频率特性较好地达到了预期要求，如图３所示。
本文简要分析了无源滤波器参数设计存在困难的主要原因。
对无源滤波器的常用电路结构，提出了计算频率特性的简易迭代法，并将求解满足指标要求的参数设计值的问题转化为优化模型的求解过程，使的原来难以描述和解决的设计问题变得明确和简单。
在遗传算法方面，我们并不照搬前人的方法[３]，例如，把最小目标函数的求解要求转化为进化的驱动力而不是刻意求得最优解，不仅减少了计算时间，还可提供设计者多种可选择的方案。在遗传算法的变异阶段，采用的是以现有的基因为中心的左右变异方法，有别于常用的在变量范围内变异的方法。因本法中心不断灵活飘移，求解过程出现两个极端，即快速找到合适解或走入死区——永远找不到解。我们通过设定最大世代数消除了后者的可能性，总体上提高了效率。
本法有效地克服了无源滤波器参数设计的困难，具有普遍性的价值和意义。其基本思想及原理亦可在电气、电子、自动化等较复杂系统的参数设计领域得到广泛的应用。